Sistemas de numeração! - Numeros e numerais.

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Sistemas de numeração!

            Para começar, vamos estabelecer a diferença entre dois substantivos, que facilmente podem ser confundidos, devido à semelhança de seus significados. Você sabe qual é a diferença entre número e numeral?

            Num primeiro momento podemos pensar que são apenas formas diferentes de nos referirmos à mesma coisa. Olhando mais detidamente, veremos que existe uma diferença fundamental. O número é um conceito associado à uma quantidade: pode ser de coisas, pessoas, objetos, fatos, enfim tudo que possa ser quantificado. É fácil compreender que, em qualquer tempo da história, o número de pessoas presentes a um determinado evento, seria sempre o mesmo. Por exemplo os apóstolos de Jesus Cristo foram doze, as tribos de Israel foram doze. Vejamos como essa quantidade seria expressa em diferentes sistemas de numeração.

            O mais comum é o sistema que usamos cotidianamente, levando muita gente a crer que é a única forma de exprimir essa quantidade, ou seja os algarismos arábicos: 12. É o numeral que exprime a quantidade de discípulos e também das tribos de Israel. Como esse número seria representado em algarismos romanos?  O numeral XII é a expressão do mesmo número. E se um dos índios tupi/guarani do Brasil fosse exprimir e1222sse número? Em primeiro lugar não sei se eles tinham uma simbologia para escrever, apenas sei dizer que seria em palavras mokoin po mokoin (duas mãos e dois). Se usássemos um sistema de numeração de base 5, mas empregássemos os algarismos 0,1,2,3,4, como ficaria? O numeral resultante seria (22) _{base 5}. Notemos que a base agora é 5. Assim o numeral (22) _{base 5,} ficaria valendo: 2x5 + 2.5º = 10 + 2 = 12. Notem que o dois no final representa duas unidades simples e o outro, na segunda ordem representa duas vezes cinco unidades.

Conversão de base 5 para base 10

            Isso se encontra dividindo o número sucessivamente pela base, até o quociente ser menor que a base. Usando o último quociente, seguido de todos os restos, vamos ter o número expresso nessa nova base. Vamos por exemplo exprimir o número 187 na base 5.

Dividimos:  187 : 5  = 37 e sobra um resto 2

Agora:          37 : 5 = 7, sobrando resto 2.

                       7 : 5 = 1, sobra resto 2.

O último quociente foi 1, que é menor que a base 5. Isso permite escrever que:

                     (187) _{base 10} = (1222) _{base 5.}

Podemos reverter isso fazendo o seguinte:

            Temos 1 x 5³ + 2 x 5² + 2 x 5¹ + 2x5⁰. Efetuando as operações indicadas teríamos:

                        1 x 125 + 2 x 25 + 2 x 5 + 2 x 1 = 125 + 50 + 10 + 2 = 187.

            Assim fica mostrado que a mesma quantidade ou número cento e oitenta e sete unidades, pode ser expresso por dois numerais diferentes em dois sistemas de numeração diferentes.

                        (1222) _{base 5} = (187) _{base 10}

 Fica evidente que o número é algo imutável, inerente a uma quantidade qualquer. O numeral é o símbolo ou conjunto de símbolos que exprimem essa quantidade num determinado sistema de numeração. Portanto podemos exprimir a mesma quantidade ou o mesmo número por infinitos numerais diferentes, desde que façamos uso dos símbolos adequados, associados a um sistema de numeração diferente. O número do exemplo anterior em algarismos romanos seria escrito assim:

                        CLXXXVII à (100 + 50 + 30 + 5 + 2) = 187.

E se estivéssemos usando o sistema sexagesimal usado pelos antigos fenícios, vindo até nossos dias nos relógios, nos transferidores usados para medir ângulos em graus, minutos e segundos, como ficaria expresso o nosso 187? Evidentemente precisaríamos de um grupo de 60 símbolos e teríamos que recorrer aos algarismos arábicos, alfabeto latino e alfabeto grego e mesmo assim faltariam alguns provavelmente. Mas apenas por curiosidade. Teríamos que dividir o número por 60 e isso nos daria:

                        187 : 60 = 3, resto 7

Aplicando o mesmo raciocínio do sistema de base 5, poderíamos nesse caso escrever:

                      (187) _{base 10} = (37) _{base 60}

Ou sejam 3 x 60¹ + 7 x 60⁰ = 180 + 7 = 187

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No início a gente se atrapalha um pouco, por ser algo a que não estamos acostumados em nosso proceder diário. Depois percebemos que são formas diferentes de raciocinar sobre o problema dos números.

No início eu falei que o valor de cada algarismo depende da sua posição dentro do numeral. É o caso das ordens e classes. A partir da direita, temos as ordens: 1ª, 2ª, 3ª, 4ª, 5ª, 6ª, 7ª, e assim por diante. São as ordens das: unidades, dezenas de unidades, centenas de unidades, formando a classe das unidades simples. Na sequência vem as unidades de milhar, dezenas de milhar, centenas de milhar, formando a classe dos milhares. Seguindo para esquerda, teremos a classe dos milhões, bilhões, trilhões. Todos esses numerais são representados com o uso exclusivo dos dez algarismos. Dessa forma cada número pode ser decomposto em suas ordens, o que é especialmente útil no cálculo mental para efetuar a soma de vários números. Fazemos a soma das ordens e no fim temos o resultado.

Você, que passa horas jogando em seu celular, trocando mensagens nas redes sociais, assistindo vídeos, ouvindo músicas, digitando textos no notebook, tablet, PC ou vendo televisão, talvez não saiba que a linguagem dos circuitos eletrônicos é baseada no uso dos algarismos 0 e 1, ou seja, o sistema binário. Nos primórdios da eletrônica, os circuitos eram gigantescos, consumiam uma enorme quantidade de energia e tinham pequena capacidade de processamento. Nessa época, reinavam as lâmpadas, válvulas, capacitores e alguns outros componentes. Uma lâmpada acesa, representava o algarismo 1 e uma lâmpada apagada, o algarismo 0. Mais tarde elas foram substituídas por circuitos menores, transistorizados, miniaturizados ao ponto de concentrar em pequeníssimos espaços, uma imensa quantidade de componentes. Isso trouxe, além da redução do espaço ocupado, uma gigantesca redução no consumo de energia. Por outro lado tornou os aparelhos mais potentes e ao mesmo tempo portáteis. Podem ser transportados para qualquer lugar. O que não mudou, foi a linguagem da máquina. Continua sendo o sistema binário, com a diferença de que, em lugar de lâmpadas acesas e apagadas, temos circuitos abertos e fechados. Nesses passa corrente elétrica e nos primeiros não.

Foi preciso criar uma espécie de “dicionário” ou “tradutor” para permitir a comunicação do homem com a máquina. Os primeiros usuários de computadores, tinham que saber muita coisa sobre o assunto. A evolução das linguagens, desenvolvimento de novos códigos, permitiu transformar qualquer coisa em “bits” de computador. Essa tecnologia permite armazenar em um “pen-drive” minúsculo uma pequena biblioteca. Um SD card consegue armazenar uma infinidade de dados, imagens, músicas ou textos; tudo graças à capacidade que o homem desenvolveu de “conversar” com as máquinas que entendem apenas a linguagem binária, isso é, sequências de 1,0,0,1,1,0,1. O “tradutor” se encarrega de estabelecer a comunicação nossa com a máquina. Hoje, um grande número de usuários de aparelhos eletrônicos, inclusive eu, entendem bem pouco, ou quase nada de como ocorre essa comunicação. Os teclados, mouses, toutch pad e mesmo conversores de voz, fazem a comunicação, permitindo até a cegos e deficientes de diferentes ordens usar os computadores.  

Um fato interessante é observar que ao adquirir um pente de memória RAM, um HD de 500 GB ou algo assim, depois de instalar, verificando no sistema constata-se que a capacidade não é exatamente aquela que aparece indicada em números redondos. Provavelmente os 500 GB, correspondem a uma potência de 2, cujo valor seja aproximadamente igual a 500. O pente de memória RAM de 1 MB, tem certamente 1024 KB ou seja 1,024 GB, uma potência de 2.

Para nos dar uma ideia vejamos como se transforma um numeral decimal em numeral binário.

Ex. (187) _{base 10} = (?) _{base 2}

187 : 2 = 93, resto 1.

93 : 2 = 46, resto 1.

46 : 2 = 23, resto 0

23 : 2 = 11, resto 1

11 : 2 = 5, resto 1

 5 : 2 = 2, resto 1

 2 : 2 = 1, resto 0

(187) _{base 10} = (10111011) _{base 2}

Se recebermos um número expresso na base 2, como saberemos quanto ele representa na base 10?

Mais fácil fazer com um exemplo: (10011101) _{base 2} = (?) _{base 10}

Vamos lembrar que a base é 2 e portanto a questão se resume a um conjunto de parcelas, formadas por potências de base 2. Para saber o expoente de cada uma, basta contar da direita para esquerda a posição e do número encontrado subtrair uma unidade. Esse será o expoente.

Dessa maneira teremos:

  1 x 2⁷ + 0 x 2⁶ + 0 x 2⁵ + 1 x 2⁴ + 1 x 2³ + 1 x 2² + 0 x 2¹ + 1 x 2⁰ =

128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 4 + 0 + 1 = 126 + 29 = 157.

O que para nós é trabalhoso, as máquinas realizam em frações de segundo e nos apresentam o resultado na nossa linguagem, isto é, ainda traduzem para que possamos entender suas respostas. Se fosse preciso interpretar uma enorme sequência de algarismos 0 e 1 para entendermos o resultado, não seria nada fácil, podem crer.

Quem tiver vontade de saber mais sobre o assunto, pode encontrar vários sites falando sobre os diferentes sistemas de numeração, bastando digitar no buscador do google “sistemas de numeração”, “sistema binário”, “sistema decimal” ou semelhantes e terá à disposição a informação que quiser. É um campo imenso de conhecimentos a desvendar para muitos e, embora não pareça no primeiro momento, de grande utilidade.

Imagens baixadas da internet nos sites de sistemas de numeração, numeração decimal, binária e romana. 

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